Question

有10个整数克的砝码（允许砝码重量相同），将其中一个或几个放在天平的右边，待称的物品放在天平的左边，能称出1，2，3，…，200的所有整数克的物品来；那么，这10个砝码中第二重的砝码最少是

18

克．

Answer 1

分析：1、首先此题是一道关于砝码的计数问题，涉及到最值问题和抽屉原理．我们直接使用最基本的数学逻辑来进行推论和解答． 2、首先，从最后所求进行分析，要求第二重的砝码最少，无法进行直接突破，使用的是最值原理的重点思路之一：从反面考虑．第二重砝码最少，那么就应该使其他的砝码尽量大．
3、首先，分析10个砝码的总重量很显然应该是200．
4、其次，分析其中最重的砝码应该最大是100，因为如果有超过100克的砝码，100克的物品就无法称出．这样其他9个砝码总和应该是100克．
5、然后，对最小砝码进行逐一分析．最小的砝码很显然必须是1，否则无法称出1克物品．继续分析下一个，下一个按道理还可以是1克，这样就可以称出2克物品，但是“其他砝码尽量大”的原则，所以第二小的砝码最大应该是2克．（不能超过2克，否则2克无法称出．）
6、继续分析第三小的砝码．要求最大，不能比4克大，否则4克就称不出来，也不需要3克的，因为3克可以使用1克和2克的合称出来．所以可以确定是4克．
7、同理继续分析第四小的砝码，应该是8克．（从尽量大的角度来说，不需要5，6，7克，从最大的角度来说，不能超过8，否则8克就无法称出了．）
9、依次类推，其他砝码依次为16，32，64…
10、但是，注意到限制：9个砝码总和应该是100克，要使得最重的尽量少（其实是10个中第二重的），那么后面的就不需要那么大了．
11、假设前面6个砝码为1，2，4，8，16，32…那么显然最重的应该为32，不一定是最少的，
12、假设前面5个砝码为1，2，4，8，16…那么还有4个总和为100-31=69，根据抽屉原理，可分配为17，17，17，18，最重的为18，这是最少的．
13、假设前面4个砝码为1，2，4，8…那么还有5个总和为100-15=85，平均为85/5=17，又第五个最大是16，所以最重的至少为18，实质和上面一类是一样的．
14、综上所述，10个砝码中第二重的砝码最少为18克，此时的砝码为：1，2，4，8，16，17，17，17，18，100．

解答：解：①10个砝码的总重量很显然应该是200克．
②其中最重的砝码应该最大是100克．
③最小的砝码很显然必须是1克．下一个按道理还可以是1克，这样就可以称出2克物品，所以第二小的砝码最大应该是2克．
④第三小的砝码．可以确定是4克．
⑤同理第四小的砝码，应该是8克
⑥依次类推，其他砝码依次为16，32，，6…
⑦9个砝码总和应该是100克，要使得最重的尽量少（其实是10个中第二重的），那么后面的就不需要那么大了．
⑧假设前面6个砝码为1、2、4、8、16、32…那么显然最重的应该为32，不一定是最少的，
⑨假设前面5个砝码为1、2、4、8、16，那么还有4个总和为100-31=69，根据抽屉原理，可分配为17、17、17、18，最重的为18，这是最少的．
⑩假设前面4个砝码为1、2、4、8，那么还有5个总和为100-15=85，平均为85÷5=17，又第五个最大是16，所以最重的至少为18，实质和上面一类是一样的．
综上，10个砝码中第二重的砝码最少18克，此时的砝码为：1、2、4、8、16、17、17、17、18、100．
故答案为18克．

点评：1、此题的难度很大，考察到了最值问题，最值问题是数学中的重要专题，最值问题最重要的思想就是某数的最大一定对应着其他数的最小．
2、此题的分析思路都要注意到两个限制条件：“砝码尽量大”的原则和“能称出1，2，3，…，200的所有整数克的物品来”的前提．两个条件互相综合才得到前面砝码呈现1，2，4，8…的规律．
3、同时还渗透了抽屉原理．