Question

如图，把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=6cm，DC=7cm，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D'CE'如图乙．这时AB与CD'相交于点O，D'E'与AB相交于点F．（1）求∠OFE'的度数；（2）求线段AD'的长．（3）若把三角形D'CE'绕着点C顺时针再旋转30°得△D''CE''，这时点B在△D''CE''的内部、外部、还是边上？证明你的判断．

Answer 1

解：（1）如图，由题意可知∠3=15°，∠E′=90°，
因为∠1=∠2，
所以∠1=75°．
又因为∠B=45°，
所以∠OFE′=∠B+∠1=45°+75°=120°．
（2）连接AD′．
∠OFE′=120°，∴∠D′FO=60°．
又∠CD′E′=30°，∴∠4=90°．
AC=BC，AB=6cm，
所以OA=OB=3cm，
∠ACB=90°，
所以OC=AB=×6=3（cm），
又因为CD′=7cm，
所以OD′=CD′-OC=7-3=4（cm）．
在Rt△AD′O中AD′===5（cm）．
（3）B在△D''CE''的内部
证明：再旋转30°后得∠BCE''=45°∠CE''D''=90° 可知斜边应为：，而BC的长度是3，
所以B在△D″CE″的内部
分析：（1）如图所示，∠3=15°，∠E′=90°，∠1=∠2=75°，所以，可得∠OFE′=∠B+∠1=45°+75°=120°；
（2）由∠OFE′=∠120°，得∠D′FO=60°，所以∠4=90°，由AC=BC，AB=6cm，得OA=OB=OC=3cm，所以，OD′=CD′-OC=7-3=4cm，在Rt△AD′O中，利用勾股定理求出即可；
（3）要证点B这时点B在△D''CE''的内部、外部、还是边上，只要比较CB与CE″的长短即可确定．
点评：本题主要考查了勾股定理和旋转的性质，能熟练应用勾股定理，利用旋转前后的两个图形完全相等是解题关键．