Question

有一个自然数，它的个位数是零，它共有8个约数，这个数最小是多少？

Answer 1

分析：因为8=7+1=（1+1）×（3+1）=（1+1）×（1+1）×（1+1），另外，此题要求这个自然数的个位是零，它必须含有质因数2和5，不能只有一个指数为7的质因数，所以这个约数的个数8只能写成：（1+1）×（3+1）或（1+1）×（1+1）×（1+1）；据此解答．

解答：解：根据分析可得，
因为8=7+1=（1+1）×（3+1）=（1+1）×（1+1）×（1+1），
又因为这个自然数必含2，5这两个不同的质因数，又要求最小，8只能写成：（1+1）×（1+1）×（1+1）；
所以这个自然数应为：2×3×5=30；
答：个位是零又有8个约数的最小自然数是30．

点评：此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式的灵活应用：a=p^α×q^β×r^γ（其中a为合数，p、q、r是质数），则a的约数共（α+1）（β+1）（γ+1）个约数．
知识链接：n个不同质数相乘的积约数个数为2ⁿ，质数的平方的约数只有三个，完全平方数的约数个数是奇数，非完全平方数的约数个数是偶数，应用这些知识，我们可以解决许多问题．