Question

20．有甲、乙两个同样的杯子，甲杯装满水，乙杯是空的．第一次将甲杯里的$\frac{1}{2}$倒入乙杯，第二次将乙杯中水的$\frac{1}{3}$倒回甲杯，第三次将甲杯中的$\frac{1}{4}$倒回乙杯，第四次将乙杯中的$\frac{1}{5}$倒回甲杯，…，这样反复倒 2015 次后，甲杯中的水是原来的几分之几？

Answer 1

分析 把甲杯中原有水量看作单位“1”，通过几次计算发现规律，倒的次数为奇数次的时候，两杯中的水一样多．因为2015是奇数，故这时甲杯中的水与乙杯中水一样多，均为$\frac{1}{2}$，所以甲杯中的水是原来的$\frac{1}{2}$．

解答 解：设甲杯中原有水为单位“1”，则甲、乙两杯的总量也为“1”，乙的量=1-甲的量；
第1次倒出的量为：1×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，第1次倒后：甲=$\frac{1}{2}$，乙=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$；
第2次倒出的量为：$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$，第2次倒后：甲=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$=$\frac{2}{3}$，乙=1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$；
第3次倒出的量为：$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{6}$，第3次倒后：甲=$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{2}$，乙=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$；
第4次倒出的量为：$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{5}$=$\frac{1}{10}$，第4次倒后：甲=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{10}$=$\frac{3}{5}$，乙=1-$\frac{3}{5}$=$\frac{2}{5}$；
第5次倒出的量为：$\frac{3}{5}$×$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{10}$，第5次倒后：甲=$\frac{3}{5}$$-\frac{1}{10}$=$\frac{1}{2}$，乙=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$；
可得：倒的次数为奇数次的时候，两杯中的水一样多均为$\frac{1}{2}$，
因为2015是奇数，所以倒2015次后，甲杯中的水是原来的$\frac{1}{2}$．
答：反复倒2015次后，甲杯中的水是原来的$\frac{1}{2}$．

点评 解答本题的关键是通过几次计算发现规律，并能用规律解答问题．