Question

有这样一类数，它们可以写作两个自然数的平方差，如 3=2²-1²，被称作智慧树，那么从1开始，第1993个智慧数是多少？

Answer 1

考点：数字问题

专题：数性的判断专题

分析：对于任意奇数2k+1=（k+1）²-k²，但1不符合要求，舍去 2；对于所有能被4整除的数，4k=（k+1）²-（k-1）²，但4不符合要求，舍去3；对于被4除余2的数，假设4k+2=x²-y²=（x-y）（x+y），当奇偶性相同时，（x-y）（x+y）可被4整除，与提设矛盾，舍去；当xy 奇偶性不同时，（x-y）（x+y） 为奇数，与提设矛盾，舍去．显然，从5开始每4个数中有3个是智慧数，而1到4中只有3个智慧数，据此完成即可．第1993个智慧数为（1993-1）÷3×4+4=2660．

解答： 解：由于除1之外任意奇数2k+1=（k+1）²-k²，但1不符合要求，舍去2；
除4之外，所有能被4整除的数，4k=（k+1）²-（k-1）²，但4不符合要求，舍去3；
对于被4除余2的数，假设4k+2=x²-y²=（x-y）（x+y），当奇偶性相同时，（x-y）（x+y）可被4整除，与提设矛盾，舍去；当xy 奇偶性不同时，（x-y）（x+y） 为奇数，与提设矛盾，舍去．
从5开始每4个数中有3个是智慧数，而1到4中只有3只智慧数，
第1993个智慧数为（1993-1）÷3×4+4=2660．
故答案为：2660．

点评：首先明确智慧树的特点，然后根据数的特点进行分析是完成本题的关键．