Question

从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中取三个不同的数组成三位数

.

xyz

，那么

. xyz

x+y+z

的最小值是

10.5

．

Answer 1

分析：由于

. xyz

x+y+z

=

100x+10y+z

x+y+z

=1+

99x+9y

x+y+z

，要使上式最小，显然z应该尽可能地大，于是z=9．从而原式=1+

99x+9y

x+y+9

= 1+

9x+9y+81

x+y+9

+

90x-81

x+y+9

=10+

90x-81

x+y+9

要使此式最小，y也应尽可能大，由于x、y、z各不相同，取y=8，原式=10+

90x-81

x+18

=10+

90(x+18)

x+18

-

90×18+81

x+18

=100-

90×18+81

x+18

，要使此式最小，x应尽可能小，但x≠0，故取x=1．故

. xyz

x+y+z

的最小值是

189

1+8+9

=10.5．

解答：解：由于

. xyz

x+y+z

=

100x+10y+z

x+y+z

=1+

99x+9y

x+y+z

，
当z=9时，其值最小；
又1+

99x+9y

x+y+9

= 1+

9x+9y+81

x+y+9

+

90x-81

x+y+9

=10+

90x-81

x+y+9

，
则y=8时，其值最小；
10+

90x-81

x+18

=10+

90(x+18)

x+18

-

90×18+81

x+18

=100-

90×18+81

x+18

，
要使此式最小，x应尽可能小，但x≠0，故取x=1．
所以

. xyz

x+y+z

的最小值是

189

1+8+9

=10.5．
故答案为：10.5．

点评：通过将此分数进行分解变化，根据分数分子越小，分母越大的这一性质确定x、y、z的值是完成本题的关键．