Question

设a与b是两个不相等的非零自然数．
（1）如果它们的最小公倍数是72，那么这两个自然数的和有多少种可能的数值？
（2）如果它们的最小公倍数是60，那么这两个自然数的差有多少种可能的数值？

Answer 1

分析：（1）因为最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积求解．所以72=1×72=8×9=2×2×2×3×3，所以a和b可能是1、72或8、9或72、2、或72、3或72、4或72、6或72、8、或72、9或72、12或72、18或72、36或36、8或36、24、或24、18或24、9或18、8．
（2）60=2×2×3×5，先确定a，求出b因数，找出这样的数组，然后求出它们的差，从而得解．

解答：解：（1）72=1×72=8×9=2×2×2×3×3，
所以：a和b可能是1、72或8、9或72、2、或72、3或72、4或72、6或72、8、或72、9或72、12或72、18或72、36或36、8或36、24、或24、18或24、9或18、8；
72+1=73，
72+2=74，
72+3=75，
72+4=76，
72+6=78，
72+8=80，
72+9=81，
72+12=84，
72+18=908，
72+36=108，
36+8=44，
36+24=60，
24+18=42，
24+9=33，
18+8=26，
9+8=17，
所以a与b之和可以有16种不同的值；
答：一共有16种不同的值．

（2）60=2×2×3×5，
a=60，b可取60的全部因子式共12个：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60
a=30，b可取全部因子中所有4的倍数共4个：4，12，20，60
a=20，b可取全部因子中所有3的倍数共6个：3，6，12，15，30，60
a=15，b可取全部因子中所有4的倍数共4个：4，12，20，60
a=12，b可取全部因子中所有5的倍数共6个：5，10，15，20，30，60
a=10，b可取全部因子中所有12的倍数共2个：12，60
a=6，b可取全部因子中所有20的倍数共2个：20，60
a=5，b可取全部因子中所有12的倍数共2个：12，60
a=4，b可取全部因子中所有15的倍数共3个：15，30，60
a=3，b可取全部因子中所有20的倍数共2个：20，60
a=2，b可取全部因子中所有60的倍数共1个：60
a=1，b可取全部因子中所有60的倍数共1个：60
共计12+4+6+4+6+2+2+2+3+2+1+1=45对，
如果不考虑a，b的顺序也应有23种情况．
（1，60），（2，60），（3，20），（3，60），（4，15），（4，30），（4，60），（5，12），（5，60），（6，20），（6，60），
（10，12），（10，60），（12，15，），（12，20），（12，30），（12，60），
（15，20），（15，60），（20，30），（20，60），（30，60），（60，60）
它们的差是：0，2，3，5，7，8，10，11，14，17，18，26，30，40，45，48，50，54，55，56，57，58，59．
答：共有23种不同的差．

点评：解答此题应首先把72和60进行分解质因数，然后根据分解的情况进行分析，进而得出结论．