Question

如果一些不同质数的平均数为21，那么它们中最大的一个数可能为

 

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Answer 1

考点：合数与质数

专题：数的整除

分析：首先列出比21小的质数，A={2，3，5，7，11，13，17，19}，要想使最大的质数最大，那么就要用尽量多A中的数，而尽量少的用A以外的质数，首先说明不可能含2，否则21×N=（N-1）个奇数+2，验证下无论N为奇数偶数等式都不能成立，3+5+7+11+13+17+19=75，21×7-75=72，其他所有质数都比21大，这意味着其他数-21≤72，即最大数≤93，小于93的最大质数是89，验证可知成立：3+5+7+11+13+17+23+89=168=21×8．

解答： 解：小于21的质数：2，3，5，7，11，13，17，19，2+3+5+7+11+13+17+19=77，
所求的数最大，那么就尽量多的使用这8个小于21的质数，所有与21的差，都补给最大的那个数，
总和为：21×9=189，189-77=112，不是质数，
考虑从这8个里面去掉一个，这样总和就是21×8=168，168-77=91，
91加上原来8个数中的某个，都不是质数，那就考虑再去掉一个，总和21×7=147，147-77=70，
70加上原来8个数中的2个，既然为质数，又不可能是2，那么得到的质数一定是奇数，需要加上的2个，必然有一个是2，
70+2=72，72+19=91，不是质数，
72+17=89，是质数，那么满足要求的最大质数就是89，验证可知成立：3+5+7+11+13+17+23+89=168=21×8．
故答案为：89．

点评：解决此题关键是要想使最大的质数最大，那么就要用尽量多21以内的数，而尽量少的用21以外的质数，逐步推出符合条件的最大质数．