Question

13．如图（1），已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A₁B₁C₁D₁；把正方形A₁B₁C₁D₁边长按原法延长一倍得到正方形A₂B₂C₂D₂（如图（2））；以此下去…，求正方形A₄B₄C₄D₄的面积？

Answer 1

分析 本题需先根据已知条件得出延长n次时面积的公式，再根据求正方形A₄B₄C₄D₄正好是要求的第5次的面积，把它代入即可求出答案．在直角三角形CC₁中，CD₁=2，CC₁=1，运用勾股定理可求得C₁D₁=$\sqrt{5}$，所以延长一次为$\sqrt{5}$，面积为5，再延长为5¹=5，面积5²=25，…，据此解答即可．

解答 解：最初边长为1，面积为1，
在直角三角形CC₁中，CD₁=2，CC₁=1，
则（C₁D₁）²=（CC^₁）²+（CD₁）²
=1²+2²
=1+4
=5
C₁D₁=$\sqrt{5}$，
所以延长一次为$\sqrt{5}$，面积为5，
再延长为5¹=5，面积5²=25，…，
下一次延长为5$\sqrt{5}$，面积5³=125，
以此类推，
当N=4时，正方形A₄B₄C₄D₄的面积为：5⁴=625．
答：正方形A₄B₄C₄D₄的面积为625．

点评 本题主要考查了正方形的性质，在解题时要根据已知条件找出规律，从而得出正方形的面积，这是一道常考题．