Question

（2010?伊春）求下列图形的面积（体积）：
（1）图1中阴影部分的面积是50cm²，求环形的面积．
（2）图2中以直角梯形的高AB为轴旋转一周，求旋转体的体积．（单位：cm）

Answer 1

分析：（1）大圆半径为R，小圆半径为r，阴影部分的面积为大三角形减去小三角形，连接圆心到三角形的顶点，可得：大三角形面积等于R×R÷2×2=R²；小三角形面积等于r×r÷2×2=r²．进而可得R²-r²=50平方厘米，环形面积为3.14×R²-3.14×r²=3.14×（R²-r²）=3.14×50=157平方厘米，从而得解；
（2）以直角梯形的高AB为轴旋转一周，旋转体为圆台，延长BA、CD相交于一点E，则旋转后变成了圆锥，根据∠C=45°可得BE（大圆锥的高）等于BC等于30厘米．
AB的长度等于从D点作到BC是垂线的长度，等于30-15=15厘米．AE（小圆锥的高）等于BE-AB=30-15=15厘米，这样知道底面半径和高分别计算两个圆锥的体积，大圆锥减去小圆锥即为圆台体积．

解答：解：（1）连接圆心到两个三角形的顶点可得：
大三角形面积：R×R÷2×2=R²；
小三角形面积：r×r÷2×2=r²．
因为图中阴影部分的面积是50平方厘米，所以R²-r²=50平方厘米，
环形面积：3.14×R²-3.14×r²，
=3.14×（R²-r²），（把R²-r²=50代入）
=3.14×50，
=157（平方厘米）．
答：环形的面积是157平方厘米．

（2）延长BA、CD相交于一点E，从D点作到BC是垂线，
因为∠C=45°，三角形BCE是等腰直角三角形，可得BE（大圆锥的高）等于BC等于30厘米；
AB的长度等于从D点作到BC是垂线的长度，等于30-15=15厘米．
AE（小圆锥的高）等于BE-AB=30-15=15厘米；
圆台面积：3.14×30²×30×

1

3

-3.14×15²×15×

1

3

，
=3.14×900×10-3.14×225×5，
=28260-3532.5，
=24727.5（立方厘米）．
答：旋转体的体积为24727.5立方厘米．

点评：思维要灵活，（1）从三角形面积与圆的半径的关系切入，一步步分析求解；（2）从45°角入手，分别可求需要的数据，进而分析，运用圆锥的体积公式求解．