Question

如图，正方形PQRS有三个顶点分别在三角形ABC的三条边上，BQ=QC，请求出正方形PQRS的面积．

Answer 1

分析：如下面左图所示，连接PR，根据题意可以表示出三角形APR，三角形BPQ，三角形CQR与三角形ABC的面积之间的关系，进而表示出三角形PQR的面积与三角形ABC的面积之间的关系，于是得出正方形PQRS的面积与三角形ABC的面积之间的关系，从而得出三角形ABC中除正方形之外的其余部分的面积与三角形ABC的面积之间的关系；然后再利用旋转的方式，如下面右图所示，将三角形BPQ以点P为中心逆时针旋转90°至三角形OPS，同样将三角形CQR以点R为中心，顺时针旋转90°至三角形ORS的位置，由BQ=CQ等关系可以得出图中两个阴影三角形恰好构成完整的四边形SPOR，连接AO，可以证明三角形APO，三角形ARO都是直角三角形，于是可以求出四边形APOR的面积，然后可以得出三角形ABC的面积，进而求出正方形PQRS的面积．

解答：解：如上面左图所示，连接PR，根据题意有：S_△APR=S_△ABC×

7

13

×

9

11

=

63

143

S_△ABC，
S_△BPQ=S_△ABC×

6

13

×

1

2

=

3

13

S_△ABC，
S_△CQR=S_△ABC×

2

11

×

1

2

=

1

11

S_△ABC．
所以S_△PQR=S_△ABC-S_△APR-S_△BPQ-S_△CQR=（1-

63

143

-

3

13

-

1

11

）S_△ABC=

34

143

S_△ABC，
因此，S_{正方形PQRS}=2S_△PQR=

68

143

S_△ABC，
S_{四边形APSR}+S_△BPQ+S_△CQR=（1-

68

143

）S_△ABC=

75

143

S_△ABC；
如上面右图所示，将△BPQ以点P为中心逆时针旋转90°至△OPS，同样将△CQR以点R为中心，顺时针旋转90°至△ORS的位置，
因为BQ=CQ，∠PSO+∠RSO=∠PQB+∠RQC=90°，
所以两个阴影三角形可以构成完整的四边形SPOR．
连接AO，因为∠OPS+∠APS=∠BPQ+∠APS=90°，
所以△APO为直角三角形，同理△ARO也是直角三角形．
所以S_{四边形APSR}+S_△BPQ+S_△CQR=S_{四边形APSR}+S_△OPS+S_△OQS=S_{四边形APOR}=S_△APO+S_△ARO=

1

2

×7×6+

1

2

×9×2=30（cm²），
因此S_△ABC=30÷

75

143

=

2×143

5

，
S_{正方形PQRS}=

2×143

5

×

68

143

=

136

5

=27.2（cm²）．
答：正方形PQRS的面积是27.2cm²．

点评：本题难度很大，解决的关键是辅助线的添加，特别是通过旋转进行面积的转化．