Question

100以内约数个数最多的自然数有五个，它们分别是几？

Answer 1

考点：约数个数与约数和定理

专题：数的整除

分析：分这个数中只含有一个质因数、两个质因数、三个质因数分析探讨即可得出答案．

解答： 解：①如果恰有一个质因数，那么约数最多的是2⁶=64，
6+1=7（个），64有7个约数；

②如果恰有两个不同质因数，那么约数最多的是2³×3²=72和2⁵×3=96，
（3+1）×（2+1）=12
（5+1）×（1+1）=12
72和96各有12个约数；

③如果恰有三个不同质因数，那么约数最多的是2²×3×5=60，2²×3×7=84和2×3²×5=90，
它们的约数个数都是：
（2+1）×（1+1）×（1+1）=12
所以60、84、90各有12个约数．
所以100以内约数最多的自然数是60，72，84，90和96，它们都有12个约数．

点评：此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：a=p^α×q^β×r^γ（其中a为合数，p、q、r是质数），则a的约数共（α+1）（β+1）（γ+1）个约数．