Question

一个自然数N共有9个约数，而N-1恰有8个约数，满足条件的自然数中，最小的和第二小的分别是多少？

Answer 1

考点：约数个数与约数和定理

专题：整除性问题

分析：因为9=3×3=9×1，所以可以把N看做只有一个质因数或两个质因数，进一步从最小的质因数考虑，逐步探讨得出答案即可．

解答： 解：根据约数个数公式可知：
①当N=aⁿ，即N只有一个质因数时，
n+1=9，所以n=8，
这样最小的N=2⁸=256，
N-1=255=3×5×17，
恰好有（1+1）×（1+1）×（1+1）=8个约数，符合题意；
②当N=aⁿ×b^m，即N有两个质因数时，
（n+1）（m+1）=9，
所以n=m=2，
这样最小的N=2²×3²=36，N-1=35=5×7有（1+1）×（1+1）=4个约数，不符合题意；
第二小的N=2²×5²=50，N-1=49=7×7有（1+1）×（1+1）=4个约数，不符合题意；
第三小的N=2²×7²=196，N-1=195=3×5×13有（1+1）×（1+1）×（1+1）=8个约数，符合题意；
综上所述，最小的N是196，第二小的是256．

点评：此题主要利用约数个数的计算方法：一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后，将每个质因数的指数（次数）加1后所得的乘积．