Question

从1到1000中最多可以选出

334

个数，使得这些数中任意两个数的差都不整除它们的和．

Answer 1

分析：要使取得数最多，必须使除数尽量小，因为自然数按被2除得的余数可以分成2类，即余数是：0、1，这些数中任意两个数的差都能整除它们的和，不合要求；那么再看3，自然数按被3除得的余数可以分成3类，即余数是：0、1、2，然后再把余数分为1与0和2两类讨论即可得出答案．

解答：解：显然，自然数按被3除得的余数可以分成3类，即余数是：0、1、2，
被3除余1的所有数，任两个数相加的和被3除余2，差能被3整除，符合要求，
对被3除余2的所有数也如此，即2+2=4，4÷3还是余1，
在1到1000中，被3除余1的有334个，余0、2的333个．
因此取被3除余1的334个，这些数符合题意；
故答案为：334．

点评：本题灵活的考查了同余定理，关键是确定除数．