Question

有一些自然数（0除外）既是平方数，又是立方数．（注：平方数可以写成两个相同的自然数的乘积，立方数可以写成三个自然数的乘积）．如：1=1×1=1×1×1   64=8×8=4×4×4．那么，1000以内的自然数中，这样的数有

3

个．

Answer 1

分析：一个自然数是平方数，则它的质因数的个数是2的倍数；一个自然数是立方数，则它的质因数的个数是3的倍数；由于2与3互质，则一个自然数（0除外）既是平方数，又是立方数，它的质因数的个数是6的倍数；则依次是：1⁶=1，2⁶=64，3⁶=729，4⁶=4096；所以在1000以内的只有3个．

解答：解：既是平方数，又是立方数的数一定是完全六次方数，
所以：1⁶=1，2⁶=64，3⁶=729，4⁶=4096…
而4⁶=4096超过了1000，所以共有3个．
故答案为：3．

点评：本体需要掌握的知识点是：既是平方数，又是立方数的数一定是完全六次方数．