Question

一个正三角形ABC，每边长1米，在每边上从顶点开始每隔2厘米取一点，然后从这些点出发作两条直线，分别和其他两边平行（如图）．这些平行线相截在三角形ABC中得到许多边长为2厘米的正三角形．求边长为2厘米的正三角形的个数．

Answer 1

分析：从图中不难看出边长为2厘米的三角形的个数：第一层有1个；第二层共有3个；第三层共有5个．于是想到共有几层，最底层共有多少个．由题意，正三角形ABC，每边长1米，在每边上从顶点开始每隔2厘米取一点，那么小三角形的层数是：100÷2=50．所以，边长为2厘米的三角形的个数实际上就是从1开始连续50个单数的和：1+3+5+…+99．计算这个等差数列的和即为所求小正三角形的个数．

解答：解：由题意及图示可得，边长为2厘米的正三角形的个数是：
1+3+5+…+99
=（1+99）×50÷2
=2500（个）．
答：边长为2厘米的正三角形的个数是2500个．

点评：本题是一个难度较高的运用等差数列求解组合图形个数的应用题．解题关键是通过实际作图发现图形排列组合规律，并灵活运用等差数列的解题方法来解题．