Question

在平面上有过同一点P，并且半径相等的n个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆除P点外无其他公共点，那么试问：
（1）这n个圆把平面划分成多少个平面区域？
（2）这n个圆共有多少个交点？

Answer 1

分析：（1）在图中，设以P点为公共点的圆有1，2，3，4，5个（取这n个特定的圆），观察平面被它们所分割成的平面区域有多少个？为此，我们列出表．

（2）与（1）一样，同样用观察、归纳、发现的方法来解决．为此，可列出表．

解答：解：（1）由分析的表易知
S₂-S₁=2，
S₃-S₂=3，
S₄-S₃=4，
S₅-S₄=5，
…
由此，不难推测：S_n-S_n-1=n．
把上面（n-1）个等式左、右两边分别相加，就得到：S_n-S₁=2+3+4+…+n，
因为S₁=2，所以S_n=2+2+3+4+…+n=1+（1+2+3+4+…+n）=1+

n(n+1)

2

=

n2+n+2

2

，
答：n个圆过P点时，可把平面划分成

n2+n+2

2

个平面区域；

（2）由表容易发现
a₁=1，
a₂-a₁=1，
a₃-a₂=2，
a₄-a₃=3，
a₅-a₄=4，
…
a_n-1-a_n-2=n-2，
a_n-a_n-1=n-1．
n个式子相加a_n=1+（1+2+3+4+…+n-1）=1+

n(n-1)

2

=

n2-n+2

2

．
答：这n个圆共有

n2-n+2

2

个交点．

点评：本题考查了规律型：图形的变化，解题关键是由特殊到一般，其中第（1）题因为S_n-1为n-1个圆把平面划分的区域数，当再加上一个圆，即当n个圆过定点P时，这个加上去的圆必与前n-1个圆相交，所以这个圆就被前n-1个圆分成n部分，加在S_n-1上，所以有S_n=S_n-1+n．