Question

试找出两个相邻的自然数，使得每个数的各位数字之和都能被2006整除．这两个相邻的自然数是

 

和

 

．

Answer 1

考点：整除性质

专题：整除性问题

分析：设这两个相邻的自然数是a和a+1，首先判断出a的最后一个数一定是9；既然a的末位数字是9，a+1就会进位，若有b次进位，可得a+1各位数字和比a的各位数字和少9b-1，
2006÷9=223…1，因此a有223个9，其和为2007，前面的各位数字和是2005，并且从后数第224为小于9（这一位不能产生进位现象了），进而求出这两个相邻的自然数是多少即可．

解答： 解：设这两个相邻的自然数是a和a+1，
①如果a的最后一个数不是9，
则a+1的各位数字之和=a的各位数字之和+1，
两者一个是偶数，一个是奇数，不可能同时被2006同时整除，
因此a的最后一个数一定是9；
②既然a的末位数字是9，a+1就会进位，
若有b次进位，可得a+1各位数字和比a的各位数字和少9b-1，
2006÷9=223…1，
因此a有223个9，其和为2007，前面的各位数字和是2005，并且从后数第224为小于9（这一位不能产生进位现象了），
所以这两个相邻的自然数是：

11…1

2005个

99…99

223个

和

11…1

2004个

2

00…0

223个

．
故答案为：

11…1

2005个

99…99

223个

、

11…1

2004个

2

00…0

223个

．

点评：此题主要考查了整除的性质的应用，解答此题的关键是首先判断出较小的自然数的末位数字是9．