Question

有两个自然数，它们的和等于b（b=279），它们的最大公约数与最小公倍数之和等于693，这两个自然数的差等于

 

．

Answer 1

考点：求几个数的最大公因数的方法,求几个数的最小公倍数的方法

专题：数的整除

分析：首先要明确：这两个的最大公因数是这两个数的公有质因数的乘积，它们的最小公倍数是这两个数 公有质因数和各自单独有的质因数的连乘积．因此可以设这两个数分别为x、y．根据题意列方程求出这两个数 进而求出它们的差．

解答： 解：设两个数为x和y，其中最大公因数为m，
有x+y=297，其中x=a×m，y=c×m
所以（a+c）×m=297
又m+m×a×c=（1+a×c）×m=693，
所以m为297与693的公因数（不一定是最大公因数），
而297有因数1、3、9、11、27、33、99、297；
693有因数1、3、7、9、11、21、33、63、77、99、231、697；
设m=99，则a×c=6 a+c=3，a，c无解，
设m=33 则a×c=20 a+c=9 所以a=5，c=4，
所以x=165 y=132
x-y=33．
答：这两个自然数的差等于33．
故答案为：33．

点评：此题解答根据是明确：这两个的最大公因数是这两个数的公有质因数的乘积，它们的最小公倍数是这两个数 公有质因数和各自单独有的质因数的连乘积．