Question

14．$\frac{1}{1+2}$+$\frac{1}{1+2+3}$+$\frac{1}{1+2+3+4}$+…$\frac{1}{1+2+3+4+…+200}$．

Answer 1

分析 把分数的每个分母根据高斯求和公式（n+1）n÷2变形，然后把每个分数根据拆项公式$\frac{2}{n×（n+2）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$拆项后通过加减相互抵消即可简算．

解答 解：$\frac{1}{1+2}$+$\frac{1}{1+2+3}$+$\frac{1}{1+2+3+4}$+…$\frac{1}{1+2+3+4+…+200}$
=$\frac{2}{2×3}$+$\frac{2}{3×4}$+$\frac{2}{4×5}$+…+$\frac{2}{200×201}$
=（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{200}$-$\frac{1}{201}$）×2
=（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{201}$）×2
=$\frac{1}{2}$×2-$\frac{1}{201}$×2
=1-$\frac{2}{201}$
=$\frac{199}{201}$

点评 本题考查了高斯求和公式S_n=（n+1）n÷2，分数拆项公式$\frac{2}{n×（n+2）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$的灵活应用．