Question

如果一个自然数中至少有两个数字，且每个数字小于其左边的每个数字，则称这个数是“下降数”．由1，2，3，4，5，6这6个数字组成的2～6位数中的“下降数”共有

57

个．

Answer 1

分析：由“下降数”的特点可知，由1，2，3，4，5，6这6个数字组成的2～6位数中的“下降数”中：
6位的有：1个（654321）；5位的有：6个（6位中去掉1位）；4位的有：6×5÷2=15个（5位中去掉1位，得到的4为数都可以有两个不同的5位数去一位得到，所以需要除2）；3位的有：6开头（4+3+2+1=10），5开头（3+2+1=6）4开头（2+1=3）3开头（1），共有10+6+3+1=20个；2位的有：5（连续的）+4（间隔1的）+3（间隔2的）+2+1=15个．

解答：解：由题意可知；
6位的有：1个；
5位的有：6个6位的有：1个（654321）
5位的有：6个（6位中去掉1位）
4位的有：6×5÷2=15个（5位中去掉1位，得到的4为数都可以有两个不同的5位数去一位得到，所以需要除2）；
2位的有：5（连续的）+4（间隔1的）+3（间隔2的）+2+1=15个；
3位的有：6开头（4+3+2+1=10），5开头（3+2+1=6）4开头（2+1=3）3开头（1）共有10+6+3+1=20个；
那么共有1+6+15+15+20=57个；
故答案为；57．

点评：完成本题要根据“下降数”的特点结合排列组合的有关知识进行分析解答．