Question

某资料室在计算机使用中（如右图所示），编码以一定规则排列，且从左至右以及从上到下都是无限的．此表中，主对角线上数列1，2，5，10，17，…的第12项的值是

122

；编码100共出现

6

次．

Answer 1

分析：（1）观察主对角线上述列每一项都是前几项的和，可发现a_n=（n-1）²+1，将各项代入验证，可得递推式．
（2）观察可得，第一列自然数，所以会出现100，第二个是单数，不会出现100，第三个观察可知a_n=a_n-1+3，则a_n=a₁+3（n-1）=3n-2可出现100，而后面的公差分别为4，5，6等等．因此不可能出现100．而横列会出现3次，总共会出现6次．

解答：解：（1）观察主对角线上述列每一项都是前几项的和，可发现a_n=（n-1）²+1，
当n=12时，（12-1）²+1=121+1=122，

（2）由编码可得，第m行是首项为1，公差为m-1的等差数列，
则第m行的第n个数为1+（n-1）（m-1），令m=n，
则有a_n=1+（n-1）（n-1）=n²-2n+2，n∈N^*，
第一列自然数，所以会出现100，第二个是单数，不会出现100，
第三个公差为3，计算公式为a_n=3（n-1）-1，故可以出现100．
故答案为：122；6．

点评：此题主要考查数列递推式的求解与计算．