Question

2．有一组数：$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{6}$、$\frac{1}{12}$、$\frac{1}{20}$　…．则第6个数是$\frac{1}{42}$，第n个数是$\frac{1}{n（n+1）}$，前10个数的和是$\frac{10}{11}$．

Answer 1

分析 这组数的分子都是1，
分母依次是2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5…
第几个数的分母就是项数与项数加1的乘积，即n（n+1），由此得出第6个数和第n个数是多少；
再根据$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$把每个数都拆分，然后相互抵消，求出前10个数的和．

解答 解：这组数的分子都是1，
分母依次是2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5…
第n个数的分母就是n（n+1）
所以第6个数的分母就是6×7=42
第6个数就是$\frac{1}{42}$；
第n个数就是$\frac{1}{n（n+1）}$；
第10个数是$\frac{1}{10×（10+1）}$=$\frac{1}{110}$
$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+…$\frac{1}{110}$
=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…（$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{11}$）
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{11}$
=1-$\frac{1}{11}$
=$\frac{10}{11}$
故答案为：$\frac{1}{42}$，$\frac{1}{n（n+1）}$，$\frac{10}{11}$．

点评 解决本题关键是找出分母的变化规律，得出分母的通项公式，进而得出每个数的通项公式，再根据$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$求和．