Question

20．观察算式
①$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3}{2×3}-\frac{2}{2×3}=\frac{1}{2×3}$；   
②$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{4}{3×4}-\frac{3}{3×4}=\frac{1}{3×4}$
③$\frac{1}{4}-\frac{1}{5}=\frac{1}{4×5}$； 
④$\frac{1}{5}-\frac{1}{6}=\frac{1}{5×6}$…
由此可知：如果A、B为两个相邻的自然数，那么$\frac{1}{A}-\frac{1}{B}$=$\frac{1}{（）}$根据规律试求$\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}+…+\frac{1}{99×100}$=$\frac{49}{100}$；
如果延伸这种规律也可求：$\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+\frac{1}{7×9}+…+\frac{1}{97×99}$=$\frac{16}{99}$．

Answer 1

分析 观察$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3}{2×3}-\frac{2}{2×3}=\frac{1}{2×3}$；$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{4}{3×4}-\frac{3}{3×4}=\frac{1}{3×4}$；可以发现规律：两个相邻自然数（0除外）的积的倒数等于较小的自然数的倒数与较大的自然数的倒数的差，即$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$（n为不等于0的自然数），据此规律，算式$\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}+…+\frac{1}{99×100}$中的每个加数都可以拆分成两个分数的差，然后进行计算即可；两个间隔自然数（0除外）的积的倒数等于较小的自然数的倒数与较大的自然数的倒数的差的一半，即$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）（n为不等于0的自然数），据此规律，算式$\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+\frac{1}{7×9}+…+\frac{1}{97×99}$中的每个加数都可以拆分成两个分数的差的$\frac{1}{2}$，然后进行计算即可．

解答 解：$\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}+…+\frac{1}{99×100}$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{99}$-$\frac{1}{100}$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{100}$
=$\frac{49}{100}$
$\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+\frac{1}{7×9}+…+\frac{1}{97×99}$
=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{9}$+…+$\frac{1}{97}$-$\frac{1}{99}$）
=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{99}$）
=$\frac{1}{2}$×$\frac{32}{99}$
=$\frac{16}{99}$
故答案为：$\frac{49}{100}$；$\frac{16}{99}$．

点评 本题考查了分数的巧算，关键是能从特殊情况发现一般规律$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$（n为不等于0的自然数），并应用规律解决问题．