Question

已知对任意正整数n，都有公式：1²+2²+…+n²=

n×(n+1)×(2n+1)

6

，求分数

12×(12+22)×(12+22+32)×…×(12+22+…+1002)

100!

化成最简分数后的分母．

Answer 1

考点：繁分数的化简

专题：计算问题（巧算速算）

分析：首先把分数

12×(12+22)×(12+22+32)×…×(12+22+…+1002)

100!

化简，然后分别找出分母、分子中因数2、3的个数，进而求出化成最简分数后的分母即可．

解答： 解：根据题意，可得12=

1×2×3

6

，12+22=

2×3×5

6

，12+22+32=

3×4×7

6

，…1²+2²+…+n²=

n×(n+1)×(2n+1)

6

，
所以

12×(12+22)×(12+22+32)×…×(12+22+…+1002)

100!

=

1×2×3

6

×

2×3×5

6

×

3×4×7

6

×…×

n×(n+1)×(2n+1)

6

×

1

100!

=

(1×2×…100)×(2×3×…×101)×(3×5×…×201)

6100?100!

=

(2×3×…×101)×(3×5×…×201)

6100

=

(2×4×6×…×100)×(3×5×…×101)×(3×5×…×201)

6100

分子中2×4×6×…×100含有97个因数2，22个因数3，
分子中3×5×7×…×101含有26个因数3，
分子中3×5×7×…×201含有50个因数3，
所以分子中一共含有97个因数2，98个因数3，分母中一共含有100个因数2，100个因数3，
因此分子、分母约分后分母还有3个因数2，2个因数3，
由2×2×2×3×3=72，
可得分数

12×(12+22)×(12+22+32)×…×(12+22+…+1002)

100!

化成最简分数后的分母是72．

点评：此题主要考查了繁分数的化简的应用，解答此题的关键是求出分母、分子中因数2、3的个数．