Question

已知1×2×3×4×5×6×…×n的末尾有连续100个0，那么n最小是多少？

Answer 1

分析：5×2=10，提供一个0，在1、2、3、4、5…n，在这些正整数中以2为约数的数即偶数很多，但是以5为约数的数是有限的，只要提供一个约数5，即可得到一个0，如：5、10、15、20、
25、30、35、40、45、50、55、60、65、70、75、80、85、90、95、100、105、110、…含一个约数5的可提供一个0，是一个以5为等差的等差数列，1×2×3×4×5×6×…×n的末尾有连续100个0，100×5=500，假设n=500；其中可提供两个约数5的则可提供两个0，如：25=5×5，25×4=100，这样的数是25的倍数，有：25、50、75、100、125、…是以25为等差的等差数列，到500有500÷25=20，则在500内多提供了20个0；其中可提供三个约数5的则可提供三个0，如125=5×5×5，125×8=1000，这样的数在500内有125、250、375三个数，又多提供3个0；则可以用500减去（20+3）个可以提供约数5的数字，400到500间提供一个5的约数（500-400）÷5=20，提供2个约数的数：（500-400）÷25=4，提供3个约数5的没有，所以，在400到500内只要有一个提供约数5的就可以了．那么n最小是405．

解答：解：5、10、15、20、25、30、35、40、45、50、55、60、65、70、75、80、85、90、95、100、105、110、…含一个约数5的可提供一个0，是一个以5为等差的等差数列，1×2×3×4×5×6×…×n的末尾有连续100个0，100×5=500，假设n=500；
其中可提供两个约数5的则可提供两个0，如：25=5×5，25×4=100，这样的数是25的倍数，有：25、50、75、100、125、…是以25为等差的等差数列，到500有500÷25=20，则在500内多提供了20个0；
其中可提供三个约数5的则可提供三个0，如125=5×5×5，125×8=1000，这样的数在500内有125、250、375三个数，又在可提供两个约数5的基础上多提供3个0；
则可以用500减去（20+3）个可以提供约数5的数字；
400到500间提供一个5的约数（500-400）÷5=20，提供2个约数的数：（500-400）÷25=4，提供3个约数5的没有；
所以，在400到500内只要有一个提供约数5的就可以了．那么n最小是405．

点评：此题考查了乘除法中的巧算．