Question

老师告诉贝贝和晶晶一个小于5000的四位数，这个四位数是5的倍数．贝贝计算出它与5！的最小公倍数，晶晶计算出它与10！的最大公约数，结果发现贝贝的计算结果恰好是晶晶的5倍．锖问：这个四位数是多少？

Answer 1

考点：公约数与公倍数问题

专题：整除性问题

分析：因为5！=5×4×3×2×1=2³×3×5，10！=10×9×8×7×6×5×4×3×2×1=2⁸×3⁴×5²×7，所以所求的四位数必须满足：因数2的个数是3～8个，因数3的个数是1～4个，因数7的个数是0或1个，又因为这个四位数是5的倍数，所以要么1个因数5也没有，要么含有3个因数5；然后分类讨论，求出满足条件的四位数有哪些即可．

解答： 解：5！=5×4×3×2×1=2³×3×5，10！=10×9×8×7×6×5×4×3×2×1=2⁸×3⁴×5²×7，
所求的四位数必须满足：因数2的个数是3～8个，因数3的个数是1～4个，因数7的个数是0或1个，
因为这个四位数是5的倍数，
所以要么1个因数5也没有，要么含有3个因数5；
通过分析，满足条件的四位数有：
（1）因数5的个数是3个的四位数有1个：2³×3×5³=3000；

（2）不含因数5，含有因数7的四位数有：
7×3⁴×2³=4536；7×3³×2³=1512；7×3³×2⁴=3024；7×3²×2⁴=1008；
7×3²×2⁵=2016；7×3²×2⁶=4032；7×3×2⁶=1344；7×3×2⁷=2688；

（3）不含因数5，不含因数7的四位数有：
3⁴×2⁴=1296；3⁴×2⁵=2592；3³×2⁶=1728；3³×2⁷=3456；
3²×2⁷=1152；3²×2⁸=2304．
所以这样的四位数有15个：3000、4536、1512、3024、1008、2016、4032、1344、2688、1296、2592、1728、3456、1152、2304．
答：这样的四位数有15个：3000、4536、1512、3024、1008、2016、4032、1344、2688、1296、2592、1728、3456、1152、2304．

点评：此题主要考查了约数和倍数问题的应用，解答此题的关键是判断出：所求的四位数中因数2的个数是3～8个，因数3的个数是1～4个，因数7的个数是0或1个，因数5的个数是0或3个．