Question

若24a²+1=b²，求证：a和b中有且仅有一个能被5整除．

Answer 1

考点：数的整除特征

专题：整除性问题

分析：我们把问题转换一下：求证a和b中有且仅有一个能被5整除，相当于证明a和b不可能都被5整除，也不可能都不被5整除，进一步根据一个数的平方被5除（不整除）会出现两种情况：余数为1或-1来解决问题．

解答： 解：由于b²-24a²=1，显然a和b不可能都被5整除．下面证明a和b不可能都不被5整除．
若a和b都不能被5整除，则a²和b²为5k±1型．
若a²和b²之一为5k+1型，另一为5k-1型，则a²+b²
能被5整除．由24a²+1=b²，得25a²+1=a²+b²．然而，25a²+1不能被5整除，所以a²和b²不可能一个为5k+1型，另一个为5k-1型．
若a²和b²同为5k+1型或同为5k-1型，则a²-b²能被5整除，而a²-b²=-（23a²+1）．考察23a²+1的个位数：

由上表可看出23a²+1的个位数没有0或5，因此，23a²+1不能被5整除，从而a²-b²不能被5整除．所以，a²和b²不可能同为5k+1或同为5k-1型．
于是a和b有一个且仅有一个能被5整除．

点评：此题考查被一个数整除数的特征，注意掌握一个数的平方被5除（不整除）会出现两种情况：余数为1或-1．