Question

如图，设ABCD是正方形，P是CD边的中点，点Q在BC边上，且∠APQ=90°，AQ与BP相交于点T，则

BT

TP

的值为多少？

Answer 1

考点：三角形面积与底的正比关系

专题：平面图形的认识与计算

分析：作高BE、PH．设正方形的边长是2，根据三角形ADP与三角形PCQ相似，求出CQ、PQ的长．进而求出BQ、AQ的长．在两个直角三角形中，根据面积公式，分别求出斜边上的高．再求出两个高的比，它就是BT与PT的比．

解答： 解：作高BE、PH．
设正方形的边长是2．则DP=CP=1，AD=2．
AP²=2²+1²=5，
所以AP=

5

．
∠APQ=90°，所以∠APD+∠CPQ=90°，
又∠APD+∠PAD=90°，所以∠PAD=∠CPQ，
所以直角△ADP∽△PCQ．
所以AD：PC=AP：PQ=DP：CQ．
即2：1=

5

：PQ=1：CQ，
所以PQ=

5

2

，CQ=0.5．
BQ=2-0.5=1.5．AQ²=AB²+BQ²=2²+1.5²=

25

4

，
所以AQ=

25 4

=

5

2

．
S_△ABQ=AB×BQ÷2=AQ×BE÷2．
BE=AB×BQ÷AQ=2×1.5÷

5

2

=

6

5

．
S_△APQ=AP×PQ÷2=AQ×PH÷2，
PH=AP×PQ÷AQ=

5

×

5

2

÷

5

2

=1．
又BE⊥AQ，PH⊥AQ，
所以△BET∽△PHT，
BT：PT=BE：PH=

6

5

：1=6：5．

点评：本题须根据正方形的有关性质，相似三角形的性质，以及直角三角形的面积公式等知识来解答．