Question

自然数a和b恰好都有99个自然数因数（包括1和改数本身），试问，数a×b能不能恰好有1000个自然数因数（包括1和该数本身）

Answer 1

分析：根据约数个数公式：假如A里含有M个质因数A1、N个质因数A2、…、P个质因数AX，即
A=A1^m×A2ⁿ×…×AX^p，则A的约数个数（包含1和本身）=（M+1）×（N+1）×…×（P+1），
自然数a含有99个因数，又因 99=3×3×11，说明自然数a含有的各个质因数出现的次数都为偶数；
对b同理；因此不管a、b里有没有质因数重复，重复多少次，a×b的各个质因数出现的次数仍然为偶数（因偶数相加奇偶性不变）；据此解答．

解答：解：假如A里含有M个质因数A1、N个质因数A2、…、P个质因数AX，即
A=A1^m×A2ⁿ×…×AX^p，则A的约数个数（包含1和本身）=（M+1）×（N+1）×…×（P+1），
自然数a含有99个因数，又因 99=3×3×11，说明自然数a含有的各个质因数出现的次数都为偶数；
对b同理；因此不管a、b里有没有质因数重复，重复多少次，a×b的各个质因数出现的次数仍然为偶数（因偶数相加奇偶性不变）；因此a×b的约数个数必等于多个奇数相乘，结果必为奇数，不可能为1000．

点评：此题应根据约数个数公式及数的奇偶性特点进行解答．