Question

重排任意一个三位数的3个数位上的数字，至多得到6个三位数（允许百位数字为0），其中有一个最大数和一个最小数，它们的差构成另一个三位数（允许百位数字为0）．
例如：3位数990，重排后得到990和099，差为891；再重排，得到981和189，差为792；…．重复2005次后，得到的所有数为

 

．

Answer 1

分析：分两种情况讨论；
（1）若三个数位上的数字全相同，所得数为0；
（2）若三个数位上的数字不完全相同，
不妨设这个三位数为 abc，a≥b≥c，且a≥c+1，
所以 abc-cba=99（a-c）=100（a-c-1）+10×9+（10+c-a），
因此所得的三位数中必有一个9，而另外两个数字之和为9；
共有990，981，972，963，954五种情况，然后从中选一种情况进行探讨，得出结论．

解答：解：分两种情况讨论；
（1）若三个数位上的数字全相同，所得数为0；
（2）若三个数位上的数字不完全相同，
不妨设这个三位数为 abc，a≥b≥c，且a≥c+1，
所以 abc-cba=99（a-c）=100（a-c-1）+10×9+（10+c-a），
因此所得的三位数中必有一个9，而另外两个数字之和为9；
共有990，981，972，963，954五种情况；
以990为例得，990-099=891，
981-189=792，
972-279=693，
963-369=594，
954-459=495，
…
由此可知最后得到495数就会循环，重复多次后所得的数是495．

点评：分情况探讨，是解决本题的关键．