Question

求出所有恰好含有10个约数的两位数，并求出每个数的所有约数之和．

Answer 1

考点：约数个数与约数和定理

专题：整除性问题

分析：由于10=2×5=1×10，因此所求数的分解式为p×q⁴或p⁹，这里p，q是不同的质数．因为这个数是两位数，而2⁹＞100，所以这个数分解式只能是p×q⁴，容易知道只有p=3，q=2以及p=5，q=2时，即p×q⁴=48或80时是两位数．所以恰有10个约数的两位数只有48和80，进一步利用约数和定理求得答案即可．

解答： 解：因为10=2×5=1×10，
所以这个数为2⁹＞100，或这个数分解式只能是3×2⁴=48，或5×2⁴=80时是两位数．
所以恰有10个约数的两位数只有48和80，它们的约数之和分别为：（1+3）（1+2+4+8+16）=124；（1+5）（1+2+4+8+16）=186．

点评：此题利用约数个数的计算方法和约数和定理解决问题：一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后，将每个质因数的指数（次数）加1后所得的乘积，约数的和是在严格分解质因数后，将M的每个质因数最高次幂的所有约数的和相乘所得到的积．