Question

已知B与P是大于1的自然数，且P+2B，P+4B，P+6B，P+8B，P+10B都是质数，求P+B的最小值．

Answer 1

考点：最大与最小

专题：传统应用题专题

分析：的关键是根据质数、合数、自然数的意义确定B、P最小是多少，只有p、B最小，P+B的最值最小．

解答： 解：首先，b的取值
可以分这几种情况来讨论：
（1）设b是除以5余1的自然数．这样的话，b可以看成是5k+1，那上面5个数的差2b则为10k+2．这时，分情况讨论：
①设p+2b除以5余1，则p+4b除以5余3，p+6b除以5余5，同志们注意，这就不是质数了
②设p+2b除以5余3，则p+4b除以5余5，不是质数
③设p+2b除以5余7，则p+4b除以5余9，p+6b除以5余1，p+8b除以5余3，p+10b除以5不是质数
④设p+2b除以5余9，则p+4b除以5余1，p+6b除以5余3，p+8b不是质数
（2）设b是除以5余2的自然数，则上述5个数之间差为10k+4，分情况讨论：
①设p+2b除以5余1，则…p+4b不是质数
②设p+2b除以5余3，则p+8b不是质数
③设p+2b除以5余7，则p+6b不是质数
④设p+2b除以5余9，则p+10b不是质数
（3）设b为除以5余3或4的自然数都可以列出p+kb（k属于{4，6，8，10}）不是质数
（4）设b为除以5余0的自然数，则…分情况讨论
①b除以3余1或余2，则p+2b，p+4b，p+6b中有一个能被3整除，就不是质数
①b除以3余0，则b为15的倍数，所以b最小值为15．
其次就是p了，p肯定为奇数，不然这五个数都不是质数了．
而p＞1，所以p是3，5，7，9，…中的一个．
p不能取3和5，如果取这2个的话，那这5个数中就会有一个被3或5整除．
所以，p的最小值为7．

点评：此题比较麻烦，的关键是根据质数、合数、自然数的意义确定B、P最小是多少．