Question

一次数学竞赛中，参赛各队每题的得分只有0分、3分和5分三种可能．比赛结束时，有三个队的总得分之和为32分，若任何一个队的总得分都可能达到32分，那么这三个队的总得分有多少种不同的情况？

Answer 1

考点：排列组合,筛选与枚举

专题：传统应用题专题

分析：设三队得3分的题共x道，得5分的题共y道，则可得不定方程：3x+5y=32，y=

32-3x

5

，则x=9，y=1或x=4，y=4；然后分两种情况讨论即可．

解答： 解：设三队得3分的题共x道，得5分的题共y道，则：3x+5y=32，所以只有x=9，y=1或x=4，y=4两种情况：
（1）当x=9，y=1时，相当于三队分9个3分和1个5分，三个队分5分的可能共有3种，
当0≤a≤9（a表示得分的个数），若某个队得a个3分，则另外两个队分（9-a）个3分的可能共有（10-a）种，
所以对于9个3分共有：10+9+8+…+1=55（种），
每队分9个3分和1个5分的总可能有：55×3=165 （种）．
（2）当x=4，y=4时，相当于三队分4个3分和4个5分，
当0≤a≤4时，若某个队得a个3分，则另外两个队分（4-a）个3分的可能共有（5-a）种，
所以对于4个3分共有：5+4+3+2+1=15（种）；
同理，当三队再分4个5分，类似地也有15种分法，但某队得5分的个数不少于3个时，其中的3个5分与（1）中的得5个3分的得分数一样，所以在（1）中已考虑过，
而三个队分4个5分，其中有一队得到不少于3个的分法共9种，
所以三队分4个3分和4个5分共有：15×（15-9）=90（种）；
综合（1）和（2），三个队的不同的总得分情况共有：165+90=255（种）．
答：这三个队的总得分有255种不同的情况．

点评：本题考查了不定方程、排列组合知识以及筛选与枚举方法的综合应用，难点是理解两种分类结果先确定一种的取值范围，然后再确定另一种的方法数．