Question

97个连续自然数的和是a×b×c，若a，b，c都是不同的质数，则a+b+c最小值应是多少？

Answer 1

考点：最大与最小

专题：传统应用题专题

分析：因为（98+1）÷2=49，所以设中间一个数是x≥49，则abc=97x，因为97是质数，则可以令a=97，那么bc=x，然后根据x=49=7×7，不符合a，b，c都是不同的质数这一条件，所以舍去；由此可得：a和b一定是一个大于7的质数，一个是小于7的质数，且比较接近49，这样才能保证a+b的和有最小值，然后试算即可得出答案．

解答： 解：因为是97个连续自然数的和，所以中间的数不小于：（98+1）÷2=49，
所以设中间一个数是x≥49，
则abc=97x，因为97是质数，则可以令a=97，
那么bc=x，
当x=49=7×7，b=7，c=7，不符合a，b，c都是不同的质数这一条件，所以舍去；
由此可得：a和b一定是一个大于7的质数，一个是小于7的质数，且bc=x≥49，
2×29最小，此时c+b=31，
3×17最小，此时c+b=20，
5×11最小，此时c+b=16，
13×5最小，此时c+b=18，
质因数17之后的不需考虑，因为前面最小的和是16，
所以，a+b+c最小值应是=97+16=113．
答：a+b+c最小值应是113．

点评：本题考查了极值问题，关键是根据等差数列确定出中间值的取值范围，然后根据较小的几个质数确定b、c两个质数的和的最小值．