Question

【题目】在一次智力测试中,有A,B两个相互独立的题目,答题规则为:被测试者答对问题A可得分数为a,答对问题B得分数b,先答哪个题目由被测试者自由选择,但只有第一个问题答对,才能再答第二题,否则终止答题.若你是被测试者,且假设你答对问题A,B的概率分别为p1,p2.

(1)若p1=,p2=,你如何依据题目分值的设置选择答哪一道题?

(2)若已知a=10,b=20,当p1,p2满足怎样的关系时,你选择先答A题?

Answer 1

【答案】(1) 选择先答B题.

(2) p1+p1p2>2p2时,选择先答A题.

【解析】分析：(1)算出选择答，所有得分情况及其对应概率，求出选择答的得分期望值，算出选择答，所有得分情况及其对应概率，求出选择答的得分期望值，比较期望值的大小，即可得结果；(2)结合（1），可得，从而可得结果.

详解：(1)设先答A的得分为随机变量ξ,先答B的得分为随机变量η.

∵P(ξ=0)=1-p1,P(ξ=a)=p1(1-p2),P(ξ=a+b)=p1p2,

∴E(ξ)=0(1-p1)+ap1(1-p2)+(a+b)p1p2.

∵P(η=0)=1-p2,P(η=b)=p2(1-p1),P(η=a+b)=p1p2,

∴E(η)=0(1-p2)+bp2(1-p1)+(a+b)p1p2.

∴E(ξ)-E(η)=ap1(1-p2)-bp2(1-p1).

若p1=,p2=,则E(ξ)-E(η)=a-b.

于是①当a>b时,选择先答A题;

②当a=b时,选择先答A,B均可;

③当a<b时,选择先答B题.

(2)若a=10,b=20,则

E(ξ)-E(η)=10p1-20p2+10p1p2,

当10p1-20p2+10p1p2>0,即p1+p1p2>2p2时,选择先答A题.