Question

在△ABC中，AB=BC，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得△AB₁C₁，使点C_l落在直线BC上（点C_l与点C不重合），
（1）如图①，当∠C＞60°时，写出边AB_l与边CB的位置关系，并加以证明；
（2）当∠C=60°时，写出边AB_l与边CB的位置关系（不要求证明）；
（3）当∠C＜60°时，请你在图②中用尺规作图法作出△AB₁C₁（保留作图痕迹，不写作法），再猜想你在（1）、（2）中得出的结论是否还成立？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）AB₁∥BC．因为等腰三角形，两底角相等，再根据平行线的判定，内错角相等两直线平行，可证明两直线平行．
（2）当∠C=60°时，写出边AB_l与边CB的位置关系也是平行，证明方法同（1）题．
（3）成立，根据旋转变换的性质画出图形．利用三角形全等即可证明．

解答：解：（1）AB₁∥BC．
证明：由已知得△ABC≌△AB₁C₁，
所以∠BAC=∠B₁AC₁，∠B₁AB=∠C₁AC，
因为AC₁=AC，
所以∠AC₁C=∠ACC₁，
因为∠C₁AC+∠AC₁C+∠ACC₁=180°，
所以∠C₁AC=180°-2∠ACC₁，
同理，在△ABC中，
因为BA=BC，
所以∠ABC=180°-2∠ACC₁，
所以∠ABC=∠C₁AC=∠B₁AB，
所以AB₁∥BC．（5分）

（2）如图1，∠C=60°时，AB₁∥BC．（7分）

（3）如图，当∠C＜60°时，（1）、（2）中的结论还成立．
证明：显然△ABC≌△AB₁C₁，
所以∠BAC=∠B₁AC₁，
所以∠B₁AB=∠C₁AC，
因为AC₁=AC，
所以∠AC₁C=∠ACC₁，
因为∠C₁AC+∠AC₁C+∠ACC₁=180°，
所以∠C₁AC=180°-2∠ACC₁，
同理，在△ABC中，
因为BA=BC，
所以∠ABC=180°-2∠ACC₁，
所以∠ABC=∠C₁AC=∠B₁AB，
所以AB₁∥BC．

点评：考查图形的旋转，等腰三角形的性质，平行线的判定．本题实质是考查对图形旋转特征的理解，旋转前后的图形是全等的．