Question

请你说明：任意7个整数中，必存在4个整数，它们的和是4的倍数．

Answer 1

解：因为任意3个整数中存在两个数，其和是2的倍数．
所以对给的7个整数a₁、a₂、a₃、a₄、a₅、a₆、a₇，
我们任取三组，不妨设为（a₁、a₂、a₅）、（a₃、a₄、a₆）、（a₅、a₆、a₇），其中每一组中一定存在两个数，其和是2的倍数，
不妨设a₁+a₂=2k₁，a₃+a₄=2k₂，a₅+a₆=2k₃，对三个整数k₁，k₂，k₃，必存在两个，不妨为k₁，k₂，有k₁+k₂=2k，其中k是整数．
所以a₁+a₂+a₃+a₄=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）=2k₁+2k₂=2（k₁+k₂）=2×2k=4k．
所以：4|（a₁+a₂+a₃+a₄）．
分析：根据任意3个整数中存在两个数，其和是2的倍数．对给的7个整数a₁、a₂、a₃、a₄、a₅、a₆、a₇，任取三组进行讨论，从而得出结论．
点评：考查了整除的性质及约数与倍数的知识，本题难点是对给的7个整数a₁、a₂、a₃、a₄、a₅、a₆、a₇，设a₁+a₂=2k₁，a₃+a₄=2k₂，a₅+a₆=2k₃，从而求解．