Question

求证：对于任意的8个自然数，一定能从中找到6个数a，b，c，d，e，f，使得（a-b）（c-d）（e-f）是105的倍数．

Answer 1

考点：数的整除特征

专题：整除性问题

分析：105=3×5×7，只要证明（a-b）（c-d）（e-f）分别是3、5、7的倍数即可求解；先由抽屉原理，8个自然数中一定有两个的差能够被7整除，记为a和b；再考虑剩下的6个数，同理可知其中一定有两个的差能够被5整除，记为c和d．再考虑剩下的4个数，同理可知其中一定有两个的差能够被3整除，记为e和f，从而得出（a-b）（c-d）（e-f）是105的倍数．

解答： 解：证明：105=7×5×3
7的剩余系为{0，1，2，3，4，5，6}有7个数
任意8个数必有两个对于7剩余相同
设为a，b，则7|（a-b）
同理：5的剩余有5个数
剩下8-2=6个数必有两个对于5剩余相同
设为c，d，则5|（c-d）
对于3的剩余同理可得
有两个数对3剩余相同
设为e，f，则3|（e-f）
这样取到了六个数a，b，c，d，e，f，且满足（a-b）是7的倍数，（c-d）是5的倍数，（e-f）是3的倍数．所以（a-b）（c-d）（e-f）是105的倍数．证毕

点评：在8个数中一定可以找出两个数关于7同余，则它们的差就是7的倍数，同理得出剩下的6个数中有5的倍数，3的倍数，从而得解．