问题研究:小明遇到这样一个问题:四边形可以画出2条对角线.五边形可以画出5条对角线．那么六边形可以画多少条对角线呢?他发现.即使是数一数图3中已经画好的对角线.也挺难数清楚一共有多少条．于是他认真研究起来.想找到其中的规律．他发现在任何一幅图中.从某个点出发画对角线都有一定的规律．如图1中.从A点出发只能画连接C点的对角线.从A� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

4．问题研究：
小明遇到这样一个问题：
四边形可以画出2条对角线，五边形可以画出5条对角线．那么六边形可以画多少条对角线呢？

他发现，即使是数一数图3中已经画好的对角线，也挺难数清楚一共有多少条．于是他认真研究起来，想找到其中的规律．
他发现在任何一幅图中，从某个点出发画对角线都有一定的规律．如图1中，从A点出发只能画连接C点的对角线，从A点出发是不能连接A点本身以及和A点相邻的B点和C点的；在图2中，从A点出发能画连接C点和D点的两条对角线，A点本身和B、E两点也是不可以连接的．
那么在图3中，从A点出发，除了A、B、F三点不能连接，可以画3条对角线；照这样想，那么从任何一点出发都可以画出3条对角线，这样就有了18条对角线．如果这样画，任何一条对角线又都重复了一次．如对角线AD，就是从A连接D，也是从D连接A，即重复了一次．所以图3中六边形的对角线应该可以画9条．
通过研究，小明不但解决了六边形对角线条数的问题，而且他发现其实任意多边形的对角线条数问题都是可以解决的．如53边形中，从任何一个点出发都能画50条对角线；考虑到重复，那么53边形可以画1325条对角线．

分析根据图形发现：从一个顶点出发的对角线的条数比边数少3；从一个顶点出发有（n-3）条对角线，共n个顶点，因此共可以画n（n-3）条，还有一半是重复的，因此总条数为$\frac{1}{2}$n（n-3）；根据对角线总条数公式代入数据即可求解．

解答解：$\frac{1}{2}$×6×（6-3）
=$\frac{1}{2}$×6×3
=9（条）
$\frac{1}{2}$×53×（53-3）
=$\frac{1}{2}$×53×50
=1325（条）
答：在图3中，从A点出发，除了A、B、F三点不能连接，可以画3条对角线；照这样想，那么从任何一点出发都可以画出3条对角线，这样就有了18条对角线．如果这样画，任何一条对角线又都重复了一次．如对角线AD，就是从A连接D，也是从D连接A，即重复了一次．所以图3中六边形的对角线应该可以画9条．53边形中，从任何一个点出发都能画50条对角线；考虑到重复，那么53边形可以画1325条对角线．
故答案为：3，9；50，1325．

点评此题主要考查了多边形的对角线、内角和，关键是掌握n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线．从n个顶点出发引出（n-3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：$\frac{1}{2}$nn（n-3）（n≥3，且n为整数）．

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