Question

有一串数：

1

1

，

1

2

，

2

2

，

1

3

，

2

3

，

3

3

，

1

4

，…．它的前1996个数的和是多少？

Answer 1

分析：此题属典型的高斯求和问题，先找出这一串数字的变化规律，再利用高斯求和的知识求得答案．

解答：解：以1为分母的数有1个，相加和S1=1，
以2为分母的数有2个，相加和S2=

1

2

+

2

2

=

3

2

，
以3为分母的数有3个，相加和S3=

1

3

+

2

3

+

3

3

=2，…
以N为分母的数有N个，相加和SN=

1

N

+

2

N

+…

N

N

=

N(N+1)

2N

=

N+1

2

，
求前1996个数的和，先确定第1996个数分母是什么，即求满足 1+2+3+4…+N=

N(N+1)

2

≥1996的最小整数N，易得N=63，62×

63

2

=1953，
分母为63的数有1996-1953=43个，即

1

63

、

2

63

、

3

63

…

43

63

，
则前1996个数的和是多少，S=S1+S2+…S62+

1

63

+

2

63

+…

43

63

，
=（62+1+2+3+…62）÷2+（1+2+3…+43）÷63，=1022.52；答：它的前1996个数的和是1022.52．

点评：此题关键是总结出SN=

N+1

2

，据此即可求得结果．