Question

四个人聚会，每人各带了2件礼品，分赠给其余三个人中的二人，试证明：至少有两对人，每对人是互赠过礼品的．设此四人为甲、乙、丙、丁并用画在平面上的四个点分别表示他们，称为它们的代表点，当某人（例如甲）赠了1件礼品给另一个（例如乙）时，就由甲向乙的代表点画一条有指向的线，无非有以下两个可能：
（1）甲、乙、丙、丁每人各收到了2件礼品．
（2）上面的情形不发生．这时只有以下一个可能，即有一个人接受了3件礼品．

Answer 1

设此四人为甲、乙、丙、丁并用画在平面上的四个点分别表示他们，称为它们的代表点，当某人（例如甲）赠了1件礼品给另一个（例如乙）时，就由甲向乙的代表点画一条有指向的线，无非有以下两个可能：
（1）甲、乙、丙、丁每人各收到了2件礼品．
（2）上面的情形不发生．这时只有以下一个可能，即有一个人接受了3件礼品
（即多于2件礼品；因为一人之外总共还有三个人，所以至多收到3件礼品）．（或许会有人说，还有两个可能：有人只收到1件礼品及有人什么礼品也没收到．其实，这都可归以“有一人接受了3件礼品”这个情形．因为，当有一人（例如甲）只接受了1件礼品的情形发生时，四人共带来的8件礼品中还剩下7件在甲以外的三个人中分配，如果他们每人至多只收到2件礼品，则收受礼品数将不超过6件，这不可能，所以至少有一人收到2件以上（即3件）礼品，同样，当甲未收到礼品时，8件礼品分给乙、丙、丁三人，也必定有人收到3件礼品）．
当（1）发生时，例如甲收到乙、丙的礼品，由于甲发出的礼品中至少有1件给了乙或丙，为确切计，设乙收到了甲的礼品，于是我们先有了一对人：（甲、乙），他们互赠了礼品，如果丙也收到甲的礼品，那么又有了第二对互赠了礼品的人（甲、丙）；如果收到甲礼品的另一人是丁（如右图）丁的2件礼品必定分赠了乙及丙（甲已收足了本情形中限定的2件礼品）丙或乙的另一件礼品给了丁，则问题也解决（这时另一对互赠了礼品的人便是（乙、丁）或（丙、丁）但丙的另一件礼品只能给丁，因为这时乙已收足了2件礼品，所以，当本情形发生时，至少能找到两对互赠过1件礼品的人．
当（2）发生时，不失一般性，设甲收到了来自乙、丙、丁的各1件礼品，但甲又应向他们之中的某两人（例如乙、丙）各赠送1件礼品，于是（甲、乙），（甲、丙）便是要找的两对人．总上可知，证明完毕．