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从1,2,3…100中选取3个两两不同的正整数,使得它们的和能被3整除,问有多少种选取方法?
考点:数的整除特征
专题:整除性问题
分析:把这100个数分三组:(1)1,4,7…100被3除余1;(2)2,5,8…98被3除余2;(3)3,6,9…99被3整除;从第一组中任选一个,从第二组中任选一个,再从第三组中任选一个,这样选出的三个数的和能被3整除;或者选每组中的三个数,它们的和也能被3整除,据此用乘法原理和组合公式计算即可解答.
解答: 解:1,4,7,…,100这34个数被3除余1;
2,5,8,…,98这33个数被3除余2;
3,6,9,…,99这33个数被3整除;
从第一组中任选一个,从第二组中任选一个,再从第三组中任选一个,这样选出的三个数的和能被3整除;
或者选每组中的三个数,它们的和也能被3整除;
共有34×33×32+
34×33×32
3×2×1
+
33×32×31
3×2×1
+
33×32×31
3×2×1

=35904+5984+5456+5456
=52800(种)
答:不同的选数法有52800种.
点评:此题考查排列组合的实际运用,注意利用两种计数原理的综合运用.乘法原理:做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,…,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法.
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