Question

15．先阅读，再答题：
阅读：因为   $\frac{1}{6}=\frac{1}{2×3}=\frac{3}{2×3}-\frac{2}{3×2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，
$\frac{1}{12}$=$\frac{1}{3×4}$-$\frac{3}{4×3}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，
$\frac{1}{20}$=$\frac{1}{4×5}$=$\frac{5}{4×5}$-$\frac{4}{5×4}$=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$，…
（1）根据以上材料，请写出：$\frac{1}{2016×2015}$=$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$．
（2）计算：$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{20}$+$\frac{1}{30}$+$\frac{1}{42}$+$\frac{1}{56}$+$\frac{1}{72}$+$\frac{1}{90}$．

Answer 1

分析 由阅读可知，一个非0整数分成两个不同的因数，且这两个因数为不相邻的自然数，这个数的倒数就等于分成的两个因数的倒数之差．

解答 解：（1）$\frac{1}{2016×2015}$
=$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$

（2）$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{20}$+$\frac{1}{30}$+$\frac{1}{42}$+$\frac{1}{56}$+$\frac{1}{72}$+$\frac{1}{90}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{10}$
=1-$\frac{1}{10}$
=$\frac{9}{10}$
故答案为：$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$．

点评 有由阅读不难看出，$\frac{1}{mn}$（m、n为非0，且相邻的自然数，m＞n）=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{m}$，根据这一规律即可解答各题．