Question

三个完全一样的长方体，棱长总和为288厘米，每个长方体交于同一点的三条棱长恰好是三个连续的自然数．给这三个长方体涂色：一个涂一个面，一个涂两个面，一个涂三个面．涂色后把三个长方体切成棱长为1厘米的小正方体，试计算只有一个面涂色的小正方体至少有

307

个．

Answer 1

分析：根据长方体的特征先求出交于同一点的三条棱的长度和：288÷3÷4=24（厘米），因为24=7+8+9，所以长宽高分别是：9厘米，8厘米，7厘米，要使一个面涂色的小正方体最少，就必须涂长方体上面积小的面，当涂两个面、三个面时，要让它们尽可能的共棱，因为棱上的和顶点上的小正方体至少两面涂色，所以根据这个要求选面涂色；长方体的各面大小依次为7×8＜7×9＜8×9，所以一面涂色要涂7×8的面，共有：7×8÷（1×1）=56个；两面涂色要涂7×8和7×9相邻的面，共有：[7×（8-1）+7×（9-1）]÷（1×1）=105个；三面涂色要涂7×8、7×9和8×9两两相邻的面，共有：[（7-1）×（8-1）+（7-1）×（9-1）+（8-1）×（9-1）]÷（1×1）=146个，三者的总个数是：56+105+146=307个，据此解答．

解答：解：288÷3=96（厘米），
96÷4=24（厘米），
因为每个长方体交于同一点的三条棱长恰好是三个连续的自然数，
又因为：24=7+8+9，所以每个长方体的长宽高分别是：9厘米，8厘米，7厘米，
又因为，7×8＜7×9＜8×9，
所以，涂一个面的长方体至少能分成：7×8÷（1×1）=56（个）；
涂两个面的长方体至少能分成：[7×（8-1）+7×（9-1）]÷（1×1）=105（个）；
涂三个面的长方体至少能分成：[（7-1）×（8-1）+（7-1）×（9-1）+（8-1）×（9-1）]÷（1×1）=146（个），
三者的总个数是：56+105+146=307（个），
答：只有一个面涂色的小正方体至少有307个．
故答案为：307．

点评：本题解答要遵循尽量涂面积小的面和两个面共棱的面，这样便于去掉棱上两面涂色和三面涂色的小正方体，能满足“至少”这个条件．