Question

18．如图所示一个中心位于O的正方形ABCD，边长是30厘米，已知阴影部分OECF占总面积的三分之一，DE=12厘米，求BF的长．

Answer 1

分析 如图，作OG⊥DC，G为垂足，作OH⊥CB，H为垂足，四边形OGCH为正方形，其边长为正方形ABCD边长的一半，大正方形的边长已知，面积可求，小正方形OGCH可求；在三角形OEG中，用大正方形边长的一半减去DE（DE已知），即可求出EG，这样三角形OEG的面积可求，用阴影部分面积减去小正方形OGCF的面积、三角形OEG的面积就是三角形OHF的面积，由三角形OHF的面积即可求出HF，用HB减去HF就是BF的长．

解答 解：如图，作OG⊥DC，G为垂足，作OH⊥CB，H为垂足

正方形ABCD的面积为：30×30=900（平方厘米）
除以OECF的面积为：90×$\frac{1}{3}$=30（平方厘米）
小正方形OGCH的面积为：90×$\frac{1}{4}$=225（平方厘米）
EG=DG-DE=30×$\frac{1}{2}$-12
=15-12
=3（厘米）
三角形OEG的面积为：$\frac{1}{2}$×（30×$\frac{1}{2}$）×3
=$\frac{1}{2}$×15×3
=22.5（平方厘米）
三角形OFH的面积为：300-225-22.5=52.5（平方厘米）
即$\frac{1}{2}$OH×OF=52.5
所以FH=52.5×2÷15=7（厘米）
所以BF=$\frac{1}{2}$×30-7=8（厘米）
答：BF的长8厘米．

点评 此题较难，关键是添加OG、OH两条辅助线，把阴影部分分成两个直角三角形和一个正方形，其中正方形面积、三角形OGE的面积可求，再求出三角形OHF的面积，根据三角形面积计算公式再求出HF的长，进而求出BF的长．