Question

有些自然数可以表示成两个合数相乘再加一个合数的形式，例如：33=4×6+9．请问：不能表示成这种形式的自然数最大是多少？

Answer 1

考点：最大与最小

专题：竞赛专题

分析：因为最小的合数是4，而4×4+4=20，所以小于20的自然数均不能表示成题目要求的形式，大于20的偶数都可以表示成题目要求的形式，这是因为：20=4×4+4、22=4×4+6、24=4×4+8…；大于20的奇数按它除以8的余数分为四类考虑：被8除余1的最小合数是9，于是有25=4×4+9、33=4×6+9、41=4×8+9…可知所有大于20且被8除余1的奇数均可以表示成题目要求的形式．同理被8除余3、5、7的最小合数分别是27、21、15，所以仍用4×偶数+奇合数的形式表示出来．
从上面的分析可以看出比35大的奇数都可以表示成两个合数的乘积与一个合数之和的形式，所以不能表示成两个合数的乘积与一个合数之和的形式的最大的数是35．

解答： 解：最小的合数是4，4×4+4=20 所以大于等于20的偶数都具备这种性质；
大于20的奇数可按除以8的余数分4类考虑，
被8除余1的最小合数是9，于是25=4×4+9，33=4×6+9…可知所有大于17且被8除余1的奇数都可以．
被8除余3的最小合数是27，于是43=4×4+27，51=4×6+27…可知所有大于35且被8除余3的奇数都可以．
被8除余5的最小合数是21，于是37=4×4+21，45=4×6+21…可知所有大于29且被8除余5的奇数都可以．
被8除余7的最小合数是15，于是31=4×4+15，39=4×6+15…可知所有大于23且被8除余7的奇数都可以．
从上面分析可看出比43-8=35大的奇数都可以用这种形式表示．
答：不能表示成这种形式的自然数最大是35．

点评：由最小的最小的合数是4，得出小于20的自然数均不能表示成题目要求的形式，并将大于20的奇数可按除以8的余数分4类进行分析是完成本题的关键．