Question

甲、乙两个自然数的和是80，这两个数的最小公倍数与最大公因数的差也是80，这两个数相乘的积是

1536

．

Answer 1

分析：要求这两个数的乘积，先求出这两个数分别是多少，那就要知道最大公因数乘各自独有的因数就是这两数的最小公倍数那么就设甲乙两数的公因数为p，甲数为pm，乙数为pn；根据题里等量关系列出方程解出方程解，既是求出两数是多少，再算出乘积．

解答：解：设甲乙两数的最大公因数为p，
甲数为pm，乙数为pn，m、n互质，则两数的最小公倍数为 pmn，
于是得pm+pn=80，整理是P（m+n）=80，
pmn-p=80，整理是P（mn-1）=80，

p(mn-1)

P(m+n)

=1，
整理是mn-1=m+n，
mn-1-m-n=0，
两边同时加上2得：mn-n-m+1=2，
整理n（m-1）-m+1=2，
整理n（m-1）-（m-1）=2，
整理（m-1）（n-1）=2×1，
解得m-1=2，n-1=1；或n-1=2，m-1=1，
结果m=2，n=3，或m=3，n=2．
把结果代入p×（2+3）=80，解得p=16，
一个数是：16×2=32，
另一个数是：16×3=48，
两数乘积为：32×48=1536
故答案为：1536．

点评：此题较难，关键是明白最小公倍数与最大公因数的约数与倍数关系，根据题意找到关系利用方程解答．