Question

如图，甲、乙两艘快艇不断往返于A、B两港之间．若甲、乙同时从A港出发，它们能否同时到达下列地点？若能，请推算它们何时到达该地点；若不能，请说明理由．
（1）A港；
（2）B港；
（3）在两港之间且距离B港30千米的大桥．

Answer 1

分析：由图可知，两港相距180千米，甲的静水速度为每小时30千米，乙的静水速度为每小时50千米，水流速度为10千米，因此可据流水问题中的其本关系式：顺水速度=船速+水速，逆水速度=船速-水速，以及行程问题中的基本关系式：路程÷速度=时间进行分析解答．

解答：解：（1）甲往返一次的时间是：

180

30+10

+

180

30-10

=13.5（小时），
乙往返一次的时间是：

180

50+10

+

180

50-10

=7.5（小时）；
13.5和7.5的最小公倍数为67.5，所以在甲乙出发后的67.5a（a=1，2，…）小时，它们又同时回到A港．
（2）设甲乙能同时到达B港，此时甲乙各完成了m，n（m，n为大于0的自然数）次往返，则有：

180

30+10

+13.5m=

180

50+10

+7.5n，
整理后得：9m+1=5n，当m的个数是6或1时，有满足上式的自然数n，所以在甲、乙出发后的：

180

30+10

+13.5×（1+5b）=18+67.5b（b=1，2，…）小时，它们同时到达B港．
（3）设甲、乙能同时到达大桥，且分别完成了m，n次往返（m，n为不为零的自然数）．
①若此时甲乙向下游行驶，则：

180-30

30+10

+13.5m=

180-30

50+10

+7.5n．
整理后得：135m+12.5=75n．没有满足上式的自然数m，n．
②若此时甲乙向上游行驶，则：

180

30+10

+

30

30-10

+13.5m=

180

50+10

+

30

50-10

+7.5n．
整理后得：135m+22.5=75n．没有满足上式的自然数m，n．
③若此时甲向上游行驶，乙向下游行驶，则：

180

30+10

+

30

30-10

+13.5m=

150

50+10

+7.5n．
整理后得：27m+7=15n，没有满足上式的自然数m，n．
④若此时甲向下游行驶，乙向上游行驶则：

150

30+10

+13.5m=

180

50+10

+

30

50-10

+7.5n．
整理后得：9m=5n，当m的个数是0或5时，有满足上式的自然数n．
所以，在甲、乙出发后的：

150

30+10

+13.5×5c=3.75+67.5c（c=1，2，…）小时，
它们能同时到达大桥．

点评：完成问题（3）时要注意分不同情况去进行分析解答．