Question

有一根均匀木棍，先用红色刻度线将它分成m等份，再用蓝色刻度线将它分成n等份，m＞n．然后按所有刻度线将该木棍锯成小段，一共可以得到170根长短不一的小棍，其中最长的小棍恰有100根．求m和n．

Answer 1

考点：公约数与公倍数问题

专题：整除性问题

分析：首先构造出：A=（1-

1

2

）（1+

1

2

）（1-

1

3

）（1+

1

3

）…（1-

1

m

）（1+

1

m

），B=（1-

1

2

）（1+

1

2

）（1-

1

3

）（1+

1

3

）…（1-

1

n

）（1+

1

n

），计算出A-B，然后利用整除的性质得出m和n的整数解即可．

解答： 解：A=（1-

1

2

）（1+

1

2

）（1-

1

3

）（1+

1

3

）…（1-

1

m

）（1+

1

m

），
B=（1-

1

2

）（1+

1

2

）（1-

1

3

）（1+

1

3

）…（1-

1

n

）（1+

1

n

），
因为A-B=

m+1

2m

-

n+1

2n

=

1

2m

-

1

2n

=

1

26

，
所以

1

m

-

1

n

=

1

13

，
则m=

13n

n+13

=

13(n+13-13)

n+13

=13-

13×13

n+13

，
即n+13是13×13的因数，
又因为13×13的因数只有3个：1、13、13×13，
所以n+13=13×13=169，
解得n=156，m=12．

点评：此题主要考查了公约数和公倍数问题的应用，解答此题的关键是熟练掌握整除的性质．